设实数x,y满足y+x^2=0,0<a<1,求证:loga(a^x+a^y)<loga2+1/8

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 18:51:52
设实数x,y满足y+x^2=0,0<a<1,求证:loga(a^x+a^y)<loga2+1/8

loga2=以为a底2的对数

解：首先y=-x^2代入不等式，
即有：要证明 loga[a^x+a^(-x^2)]<loga2 +1/8
只要证明a^x+a^(-x^2)>2a^(1/8)
而：a^x+a^(-x^2)≥2a^[(x-x^2)/2] （1）（用公式）
对于函数(x-x^2)/2来说，易得其最大值是当x=1/2时，值为1/8。

明显2a^[(x-x^2)/2]≥2a^1/8 ，
所以a^x+a^(-x^2)≥2a^(1/8)，
所以loga[a^x+a^(-x^2)]≤loga2 +1/8